Director del conjunto denominado Escuadrón de guitarras y autor de bellas composiciones pampeanas y de otro género, como Milongueo pampeano y Chamarrita. Nació en Dolores (provincia de Buenos Aires) el 5 de abril de 1903.
«Estilo pampeano» y «Milongueo del ayer» son dos de sus temas más conocidos. El primero figura hace más de 40 años como composición obligatoria en la Escuela Musical de Tomsk (Siberia, Rusia), lugar en el que el autor jamás estuvo.
Hijo de Juana Peón, planchadora y de Eduardo Fleury, panadero entre otros oficios, su vocación musical nació a sus 11 años aproximadamente; y le solicitó a su madre que le comprara una guitarra. Las primeras lecciones de este instrumento las recibió justamente de su madre, quien le enseñó las primeras posiciones a través de una milonga. Avanzó en sus estudios teniendo por maestro a Froilán Rojas y más tarde al compositor Honorio Siccardi y Pascual Galeano, ambos de la ciudad de Dolores, con los que dio sus primeros pasos en el género. Perfeccionó sus estudios de guitarra con el maestro Domingo Prat.
A los 20 años abandonó la ciudad, residiendo en Mar del Plata, Tandil, Tres Arroyos, La Plata y Buenos Aires, dando conciertos con la asistencia de numeroso público. Se casó con una joven llamada Natalia Arámbulo y de esta unión nació el 13 de diciembre de 1925 su primogénita Zulema Fleury, quien a la edad de 17 años, y por el consejo de su madre se recibe de concertista de guitarra. Zulema Fleury fue la única concertista de guitarra de su descendencia y la cual llevó el nombre de su padre con gran orgullo y respeto. La guitarra que perteneció al Señor Abel Fleury, hoy parte del museo en Dolores, fue obsequio de su hija Zulema, la cual fallece años más tarde en la ciudad de Buenos Aires.
En 1933, buscando mejor suerte, se trasladó a Buenos Aires y gracias a una carta de presentación del conocido recitador criollo de la época, Lauro Viana, empezó a participar, haciendo el fondo musical, en los recitales poético-gauchescos de Fernando Ochoa. También, ya separado de Natalia Arámbulo, se unió a Nelis Guerra y así nacieron tres hijos: Estela Juana, María Del Carmen y Abel Eduardo.
De regreso de uno de esos viajes, a comienzos de 1958, empezó a sentir los síntomas de una enfermedad que rápidamente lo llevó a la muerte, acaecida en Buenos Aires el 9 de agosto de ese año. Sus restos fueron trasladados a la ciudad de Dolores, donde fue homenajeado como su hijo más distinguido.
Desde hace 27 años en la ciudad de Dolores, se realiza la Fiesta Nacional de la Guitarra en homenaje a Don Abel.